Trigonométrie Exemples

$\tan (- 345)$

Étape 1

Réécrivez $- 345$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\tan (\frac{- 690}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$

Étape 3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$

Étape 4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$ .

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Étape 4.1

Ajoutez des rotations complètes de $360$ ° jusqu’à ce que l’angle tombe entre $0$ ° et $360$ °.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{1 + \cos (- 690)}}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Étape 4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Étape 4.5

Ajoutez des rotations complètes de $360$ ° jusqu’à ce que l’angle tombe entre $0$ ° et $360$ °.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (30)}}$

Étape 4.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Étape 4.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}}$

Étape 4.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 4.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.10.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 4.10.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{1}{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ par $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) (\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})}$

Étape 4.12

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ par $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}}$

Étape 4.13

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 4.14

Simplifiez

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{1}}$

Étape 4.15

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Étape 4.16

Développez $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}$

Étape 4.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}$

Étape 4.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 4.17

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.17.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 4.17.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 4.17.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 4.17.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 4.17.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.17.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.17.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 4.17.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 4.17.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.17.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.17.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.17.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.17.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.17.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.17.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.17.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.17.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1}}$

Étape 4.17.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Étape 4.17.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\sqrt{7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Étape 4.17.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

Forme décimale :

$0.26794919 \dots$