Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{11 π}{12})$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{11 π}{12})$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (\frac{11 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{12}))$

Étape 2.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

Étape 2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})))$

Étape 2.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}))$

Étape 2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Étape 4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Étape 4.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Étape 5.2

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Étape 5.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Étape 5.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8}$

Étape 5.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8}$

Étape 5.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2}{8}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{3} + 2$ et $8$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8}$

Étape 6.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8}$

Étape 6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8}$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4}$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.68301270 \dots$