Trigonométrie Exemples

$\sin (165) \cos (165)$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (165)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (15) \cos (165)$

Étape 1.2

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (45 - 30) \cos (165)$

Étape 1.3

Séparez la négation.

$\sin (45 - (30)) \cos (165)$

Étape 1.4

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$(\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (165)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (165)$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cos (165)$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (165)$

Étape 1.8

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (165)$

Étape 1.9

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.9.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (165)$

Étape 1.9.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (165)$

Étape 1.9.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (165)$

Étape 1.9.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (165)$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.9.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (165)$

Étape 1.9.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (165)$

Étape 1.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (165)$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (165)$ est $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \cos (15))$

Étape 2.2

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \cos (45 - 30))$

Étape 2.3

Séparez la négation.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \cos (45 - (30)))$

Étape 2.4

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)))$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)))$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)))$

Étape 2.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)))$

Étape 2.8

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.9

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Étape 2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 2.9.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.9.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.9.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.9.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Étape 2.9.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.9.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

Étape 2.9.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}))$

Étape 2.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$- \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{6 + \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{6 + \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.9

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Étape 4.2.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.9.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.10

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.2.1.13

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 4.2.1.13.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.2.1.13.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{16}$

Étape 4.2.1.13.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Étape 4.2.1.13.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Étape 4.2.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Étape 4.2.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Étape 4.2.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Étape 4.2.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Étape 4.2.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{16}$

Étape 4.2.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{16}$

Étape 4.2.1.15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2}{16}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2$ de $6$ .

$- \frac{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{4 + 0}{16}$

Étape 4.2.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{4}{16}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{16}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25$