Trigonométrie Exemples

$\sin (105) \sin (75)$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (105)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (75) \sin (75)$

Étape 1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (30 + 45) \sin (75)$

Étape 1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (75)$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Étape 1.8

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Étape 1.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Étape 1.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Étape 1.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Étape 1.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (75)$

Étape 1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (75)$

Étape 2

La valeur exacte de $\sin (75)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (30 + 45)$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 2.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Étape 2.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Étape 2.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Étape 2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ comme $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.6

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.10

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.11

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Étape 6.1.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

Étape 6.1.14

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

Étape 6.1.15

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

Étape 6.1.16

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

Étape 6.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Étape 6.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 7.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Étape 7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Étape 7.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Forme décimale :

$0.93301270 \dots$