Trigonométrie Exemples

$\sec (\frac{11 π}{24})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{11 π}{24}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\sec (\frac{\frac{11 π}{12}}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (\frac{\frac{11 π}{12}}{2})$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{\frac{11 π}{12}}{2})}$

Étape 3

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{11 π}{12})}{2}}}$

Étape 4

Change the $\pm$ to $+$ because secant is positive in the first quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{11 π}{12})}{2}}}$

Étape 5

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{11 π}{12})}{2}}}$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{11 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{12})}{2}}}$

Étape 5.1.1.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})}{2}}}$

Étape 5.1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}{2}}}$

Étape 5.1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}{2}}}$

Étape 5.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}{2}}}$

Étape 5.1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}{2}}}$

Étape 5.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

Étape 5.1.1.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Étape 5.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

Étape 5.1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

Étape 5.1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

Étape 5.1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}}$

Étape 5.1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}}}$

Étape 5.1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}}}$

Étape 5.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}}$

Étape 5.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}}{2}}}$

Étape 5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$ comme $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}}$

Étape 5.2.4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}$

Étape 5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Étape 5.2.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Étape 5.2.6.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}$

Étape 5.2.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}$

Étape 5.2.6.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}$

Étape 5.2.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Étape 5.2.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 5.2.6.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 5.2.6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 5.2.6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 5.2.6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 5.2.6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}}$

Étape 5.2.6.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ par $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ par $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}} \cdot \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

Étape 5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ par $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2} \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

Étape 5.6.2

Élevez $\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{1} \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

Étape 5.6.3

Élevez $\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{1} {\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{1}}$

Étape 5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{2}}$

Étape 5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}^{2}$ comme $(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2$ .

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Étape 5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$ comme ${((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{({((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{{((4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2)}^{1}}$

Étape 5.6.6.5

Simplifiez

$\frac{4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2})}{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}$

Étape 5.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2})}{2 \cdot (4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})}$

Étape 5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2})}{2 \cdot (4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})}$

Étape 5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{4 \cdot 2 - \sqrt{6} \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.8.2

Simplifiez

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Étape 5.8.2.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{8 - \sqrt{6} \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.8.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - \sqrt{2} \cdot 2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.8.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 5.9

Multipliez $\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ par $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Étape 5.10

Multipliez $\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ par $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Étape 5.11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{16 - 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2} - \sqrt{12} - 4 \sqrt{2} + \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.12

Simplifiez

$\frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{20 - 8 \sqrt{6}}$

Étape 5.13

Annulez le facteur commun à $2$ et $20 - 8 \sqrt{6}$ .

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Étape 5.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{20 - 8 \sqrt{6}}$

Étape 5.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 \cdot 10 - 8 \sqrt{6}}$

Étape 5.13.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 \cdot 10 + 2 (- 4 \sqrt{6})}$

Étape 5.13.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (10) + 2 (- 4 \sqrt{6})$ .

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 (10 - 4 \sqrt{6})}$

Étape 5.13.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 (10 - 4 \sqrt{6})}$

Étape 5.13.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{10 - 4 \sqrt{6}}$

Étape 5.14

Multipliez $\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{10 - 4 \sqrt{6}}$ par $\frac{10 + 4 \sqrt{6}}{10 + 4 \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{10 - 4 \sqrt{6}} \cdot \frac{10 + 4 \sqrt{6}}{10 + 4 \sqrt{6}}$

Étape 5.15

Multipliez $\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{10 - 4 \sqrt{6}}$ par $\frac{10 + 4 \sqrt{6}}{10 + 4 \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (10 + 4 \sqrt{6})}{(10 - 4 \sqrt{6}) (10 + 4 \sqrt{6})}$

Étape 5.16

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (10 + 4 \sqrt{6})}{100 + 40 \sqrt{6} - 40 \sqrt{6} - 16 {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 5.17

Simplifiez

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (10 + 4 \sqrt{6})}{4}$

Étape 5.18

Annulez le facteur commun à $10 + 4 \sqrt{6}$ et $4$ .

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Étape 5.18.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (10 + 4 \sqrt{6})$ .

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 + 2 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 5.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 + 2 \sqrt{6}))}{2 (2)}$

Étape 5.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 + 2 \sqrt{6}))}{2 \cdot 2}$

Étape 5.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 + 2 \sqrt{6})}{2}$

Étape 5.19

Regroupez $5 + 2 \sqrt{6}$ et $\sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(5 + 2 \sqrt{6}) \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Étape 5.20

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{6} \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Étape 5.21

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{(5 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{(8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \cdot 6}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Étape 5.22

Déplacez $6$ à gauche de $8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{(5 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{6 (8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{(5 \sqrt{8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{6 (8 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})}) (4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

Forme décimale :

$7.66129757 \dots$