Trigonométrie Exemples

$\csc (\frac{7 π}{12})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\csc (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})}$

Étape 3

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}}$

Étape 4

Change the $\pm$ to $+$ because cosecant is positive in the second quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}}$

Étape 5

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}}$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}}$

Étape 5.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}$

Étape 5.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Étape 5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Forme décimale :

$1.03527618 \dots$