Trigonométrie Exemples

$\cos (67.5) \sin (22.5)$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (67.5)$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $67.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{135}{2}) \sin (22.5)$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}) \sin (22.5)$

Étape 1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}} \sin (22.5)$

Étape 1.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (22.5)$

Étape 1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sin (22.5)$

Étape 2

La valeur exacte de $\sin (22.5)$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sin (\frac{45}{2})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})$

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}$ .

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 2.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 2.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{4}$

Étape 4

Réécrivez ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ comme $2 - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ comme ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.14644660 \dots$