Trigonométrie Exemples

\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$

Étape 1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ ,

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors

\arcsin (\frac{2}{x})

$\arcsin (\frac{2}{x})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ . Ainsi,

\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$ est

\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$ .

\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{2}

$1^{2}$ .

\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

a = 1

$a = 1$ et

b = \frac{2}{x}

$b = \frac{2}{x}$ .

\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}$

Étape 3.3

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}$

Étape 3.5

Multipliez

\frac{x + 2}{x}

$\frac{x + 2}{x}$ par

\frac{x - 2}{x}

$\frac{x - 2}{x}$ .

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}$

Étape 3.6

Multipliez

x

$x$ par

x

$x$ .

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

Étape 4

Réécrivez

\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}$ comme

{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))

${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 4.1

Factorisez la puissance parfaite

1^{2}

$1^{2}$ dans

(x + 2) (x - 2)

$(x + 2) (x - 2)$ .

\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}$

Étape 4.2

Factorisez la puissance parfaite

x^{2}

$x^{2}$ dans

x^{2}

$x^{2}$ .

\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.3

Réorganisez la fraction

\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}

$\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}$ .

\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical.

\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}

$\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 6

Associez

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ et

\sqrt{(x + 2) (x - 2)}

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$