Trigonométrie Exemples

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$

Étape 1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{2}{x})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{2}{x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}$

Étape 3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{x + 2}{x}$ par $\frac{x - 2}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}$

Étape 3.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 4.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}$

Étape 4.2

Factorisez la puissance parfaite $x^{2}$ dans $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 6

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$