Trigonométrie Exemples

$\cos (105) \cos (75)$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (105)$ est $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (75) \cos (75)$

Étape 1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \cos (30 + 45) \cos (75)$

Étape 1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \cos (75)$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Étape 1.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Étape 1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Étape 1.8.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Étape 1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (75)$

Étape 1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (75)$

Étape 1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (75)$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (75)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 2.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (30 + 45)$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 3

Multipliez $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$- \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.9

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Étape 6.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.9.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.10

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 6.1.13

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 6.1.13.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 6.1.13.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Étape 6.1.13.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Étape 6.1.13.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Étape 6.1.13.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Étape 6.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Étape 6.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Étape 6.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Étape 6.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Étape 6.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Étape 6.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Étape 6.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$- \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Étape 6.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $8 - 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$- \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Étape 7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Étape 7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Forme décimale :

$- 0.06698729 \dots$