Trigonométrie Exemples

$\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i}$ par le conjugué de $4 - 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i} \cdot \frac{4 + 3 i}{4 + 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez.

$\frac{(- 3 + 4 i) (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Développez $(- 3 + 4 i) (4 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (4 + 3 i) + 4 i (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 \cdot 4 - 3 (3 i) + 4 i (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 \cdot 4 - 3 (3 i) + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12 - 3 (3 i) + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $4 i (3 i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 (i^{1} i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 (i^{1} i^{1})}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i^{1 + 1}}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i^{2}}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 \cdot - 1}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i - 12}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $12$ de $- 12$ .

$\frac{- 24 - 9 i + 16 i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- 9 i$ et $16 i$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Développez $(4 - 3 i) (4 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 (4 + 3 i) - 3 i (4 + 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 \cdot 4 + 4 (3 i) - 3 i (4 + 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 \cdot 4 + 4 (3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 4 (3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $12 i$ de $12 i$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{25}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{- 24 + 7 i}{25}$ en deux fractions.

$\frac{- 24}{25} + \frac{7 i}{25}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{24}{25} + \frac{7 i}{25}$