Trigonométrie Exemples

$\arcsin (\sin (\frac{11 π}{8}))$

Étape 1

Réécrivez $\frac{11 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\arcsin (\sin (\frac{\frac{11 π}{4}}{2}))$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\arcsin (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}})$

Étape 3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\arcsin (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}})$

Étape 4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\arcsin (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}})$

Étape 4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\arcsin (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arcsin (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 4.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\arcsin (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\arcsin (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\arcsin (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\arcsin (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\arcsin (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Étape 4.8

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.8.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Étape 4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\arcsin (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Étape 4.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Étape 4.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Étape 4.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Forme décimale :

$- 1.17809724 \dots$