Trigonométrie Exemples

$2 y^{4} + 3 y^{3} - 42 y^{2} + 68 y - 24 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$3 y^{3} - 24 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{3} - 24$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{3}$ .

$3 (y^{3}) - 24 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$3 y^{3} + 3 \cdot - 8 + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{3} + 3 \cdot - 8$ .

$3 (y^{3} - 8) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$3 (y^{3} - 2^{3}) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2})) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.5

Factorisez.

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Étape 1.5.1

Simplifiez

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Étape 1.5.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2})) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 ((y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.6

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y^{4} - 42 y^{2} + 68 y$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y^{4}$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) - 42 y^{2} + 68 y = 0$

Étape 1.6.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 42 y^{2}$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y) + 68 y = 0$

Étape 1.6.3

Factorisez $2 y$ à partir de $68 y$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y) + 2 y (34) = 0$

Étape 1.6.4

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (y^{3}) + 2 y (- 21 y)$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3} - 21 y) + 2 y (34) = 0$

Étape 1.6.5

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (y^{3} - 21 y) + 2 y (34)$ .

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{3} - 21 y + 34) = 0$

Étape 1.7

Factorisez.

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Étape 1.7.1

Factorisez $y^{3} - 21 y + 34$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 34, \pm 2, \pm 17$

Étape 1.7.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 21 \cdot 2 + 34$

Étape 1.7.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 21 \cdot 2 + 34$

Étape 1.7.1.3.3

Multipliez $- 21$ par $2$ .

$8 - 42 + 34$

Étape 1.7.1.3.4

Soustrayez $42$ de $8$ .

$- 34 + 34$

Étape 1.7.1.3.5

Additionnez $- 34$ et $34$ .

$0$

Étape 1.7.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $y - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{y^{3} - 21 y + 34}{y - 2}$

Étape 1.7.1.5

Divisez $y^{3} - 21 y + 34$ par $y - 2$ .

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Étape 1.7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$21 y$

$34$

Étape 1.7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$

Étape 1.7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

Étape 1.7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{3} - 2 y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

Étape 1.7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

Étape 1.7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$

Étape 1.7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$

Étape 1.7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

Étape 1.7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 y^{2} - 4 y$

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

Étape 1.7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$

Étape 1.7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$

Étape 1.7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 17 y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$

Étape 1.7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							-	$17 y$	+	$34$

Étape 1.7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 17 y + 34$

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							+	$17 y$	-	$34$

Étape 1.7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$17$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$21 y$	+	$34$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$21 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$17 y$	+	$34$
							+	$17 y$	-	$34$
										$0$

Étape 1.7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$y^{2} + 2 y - 17$

Étape 1.7.1.6

Écrivez $y^{3} - 21 y + 34$ comme un ensemble de facteurs.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Étape 1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17) = 0$

Étape 1.8

Factorisez $y - 2$ à partir de $3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)$ .

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Étape 1.8.1

Factorisez $y - 2$ à partir de $3 (y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)$ .

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + 2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17) = 0$

Étape 1.8.2

Factorisez $y - 2$ à partir de $2 y (y - 2) (y^{2} + 2 y - 17)$ .

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + (y - 2) (2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Étape 1.8.3

Factorisez $y - 2$ à partir de $(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4)) + (y - 2) (2 y (y^{2} + 2 y - 17))$ .

$(y - 2) (3 (y^{2} + 2 y + 4) + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Étape 1.9

Appliquez la propriété distributive.

$(y - 2) (3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 \cdot 4 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot 4 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Étape 1.10.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y (y^{2} + 2 y - 17)) = 0$

Étape 1.11

Appliquez la propriété distributive.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y \cdot y^{2} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 (y^{2} y) + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Étape 1.12.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 1.12.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 (y^{2} y) + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Étape 1.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{2 + 1} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Étape 1.12.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Étape 1.12.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 2 y \cdot - 17) = 0$

Étape 1.12.3

Multipliez $- 17$ par $2$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y \cdot y) - 34 y) = 0$

Étape 1.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.13.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.13.1.1

Déplacez $y$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) - 34 y) = 0$

Étape 1.13.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 2 \cdot (2 y^{2}) - 34 y) = 0$

Étape 1.13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(y - 2) (3 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} + 4 y^{2} - 34 y) = 0$

Étape 1.14

Additionnez $3 y^{2}$ et $4 y^{2}$ .

$(y - 2) (7 y^{2} + 6 y + 12 + 2 y^{3} - 34 y) = 0$

Étape 1.15

Soustrayez $34 y$ de $6 y$ .

$(y - 2) (7 y^{2} - 28 y + 12 + 2 y^{3}) = 0$

Étape 1.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$(y - 2) (2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12) = 0$

Étape 1.17

Factorisez.

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Étape 1.17.1

Réécrivez $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ en forme factorisée.

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Étape 1.17.1.1

Factorisez $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.17.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.17.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Étape 1.17.1.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.17.1.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Étape 1.17.1.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Étape 1.17.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 + 7 \cdot {0.5}^{2} - 28 \cdot 0.5 + 12$

Étape 1.17.1.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 + 7 \cdot 0.25 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Étape 1.17.1.1.3.5

Multipliez $7$ par $0.25$ .

$0.25 + 1.75 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Étape 1.17.1.1.3.6

Additionnez $0.25$ et $1.75$ .

$2 - 28 \cdot 0.5 + 12$

Étape 1.17.1.1.3.7

Multipliez $- 28$ par $0.5$ .

$2 - 14 + 12$

Étape 1.17.1.1.3.8

Soustrayez $14$ de $2$ .

$- 12 + 12$

Étape 1.17.1.1.3.9

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 1.17.1.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 y - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12}{2 y - 1}$

Étape 1.17.1.1.5

Divisez $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ par $2 y - 1$ .

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Étape 1.17.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 y$

$1$

$2 y^{3}$

$7 y^{2}$

$28 y$

$12$

Étape 1.17.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 y^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 y$ .

					$y^{2}$
	$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$

Étape 1.17.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			+	$2 y^{3}$	-	$y^{2}$

Étape 1.17.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 y^{3} - y^{2}$

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$

Étape 1.17.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$

Étape 1.17.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y^{2}$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$

Étape 1.17.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 y$ .

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$

Étape 1.17.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$4 y$

Étape 1.17.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 y^{2} - 4 y$

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$

Étape 1.17.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$

Étape 1.17.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y^{2}$	+	$4 y$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$

Étape 1.17.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 24 y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 y$ .

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$

Étape 1.17.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							-	$24 y$	+	$12$

Étape 1.17.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 24 y + 12$

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							+	$24 y$	-	$12$

Étape 1.17.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$	+	$4 y$	-	$12$
$2 y$	-	$1$		$2 y^{3}$	+	$7 y^{2}$	-	$28 y$	+	$12$
			-	$2 y^{3}$	+	$y^{2}$
					+	$8 y^{2}$	-	$28 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$24 y$	+	$12$
							+	$24 y$	-	$12$
										$0$

Étape 1.17.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$y^{2} + 4 y - 12$

Étape 1.17.1.1.6

Écrivez $2 y^{3} + 7 y^{2} - 28 y + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(y - 2) ((2 y - 1) (y^{2} + 4 y - 12)) = 0$

Étape 1.17.1.2

Factorisez $y^{2} + 4 y - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.17.1.2.1

Factorisez $y^{2} + 4 y - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.17.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $4$ .

$- 2, 6$

Étape 1.17.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y - 2) ((2 y - 1) ((y - 2) (y + 6))) = 0$

Étape 1.17.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(y - 2) ((2 y - 1) (y - 2) (y + 6)) = 0$

Étape 1.17.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(y - 2) (2 y - 1) (y - 2) (y + 6) = 0$

Étape 1.18

Associez les exposants.

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Étape 1.18.1

Élevez $y - 2$ à la puissance $1$ .

$(y - 2) (y - 2) (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Étape 1.18.2

Élevez $y - 2$ à la puissance $1$ .

$(y - 2) (y - 2) (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Étape 1.18.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(y - 2)}^{1 + 1} (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Étape 1.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(y - 2)}^{2} (2 y - 1) (y + 6) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(y - 2)}^{2} = 0$

$2 y - 1 = 0$

$y + 6 = 0$

Étape 3

Définissez ${(y - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Définissez ${(y - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(y - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez ${(y - 2)}^{2} = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 4

Définissez $2 y - 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 y - 1$ égal à $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 y - 1 = 0$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 5

Définissez $y + 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $y + 6$ égal à $0$ .

$y + 6 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 6$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(y - 2)}^{2} (2 y - 1) (y + 6) = 0$ vraie.

$y = 2, \frac{1}{2}, - 6$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = 2, \frac{1}{2}, - 6$

Forme décimale :

$y = 2, 0.5, - 6$