Trigonométrie Exemples

$z^{3} + 8 = 0$

Étape 1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$z^{3} = - 8$

Étape 2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$z^{3} + 8 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$z^{3} + 2^{3} = 0$

Étape 3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = z$ et $b = 2$ .

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

Étape 3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Étape 5

Définissez $z + 2$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 5.1

Définissez $z + 2$ égal à $0$ .

$z + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 2$

Étape 6

Définissez $z^{2} - 2 z + 4$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 6.1

Définissez $z^{2} - 2 z + 4$ égal à $0$ .

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ pour $z$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ vraie.

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$