Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (2 x) - 3 \sin (2 x) + 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin (2 x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $4$ de $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Étape 8.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Étape 9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ .

$2 x = 0.39192267$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0.39192267$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0.39192267$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0.39192267}{2}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Divisez $0.39192267$ par $2$ .

$x = 0.19596133$

Étape 9.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = (3.14159265) - 0.39192267$

Étape 9.5

Résolvez $x$ .

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Étape 9.5.1

Soustrayez $0.39192267$ de $3.14159265$ .

$2 x = 2.74966997$

Étape 9.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 2.74966997$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2.74966997$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Étape 9.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Étape 9.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2.74966997}{2}$

Étape 9.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.5.2.3.1

Divisez $2.74966997$ par $2$ .

$x = 1.37483498$

Étape 9.6

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 9.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 9.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 9.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9.7

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , pour tout entier $n$