Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\cos (x)}$ comme ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ comme $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ .

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $- 2 \cos (x)$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $4 \cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

Étape 3.1.2

Ajoutez $4 \cos (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

Étape 3.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Additionnez $\cos (x)$ et $4 \cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ .

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Étape 3.3.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (x)$ par $u$ .

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

Étape 3.3.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

Étape 3.3.2.2.2

Réécrivez $5$ comme $1$ plus $4$

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

Étape 3.3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

Étape 3.3.2.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

Étape 3.3.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

Étape 3.3.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

Étape 3.3.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 4 u + 1$ .

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.5

Définissez $- 4 \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $- 4 \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \cos (x) = - 1$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (x) = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (x) = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Étape 3.5.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.4.1

Évaluez $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Étape 3.5.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Étape 3.5.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Étape 3.5.2.6.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Étape 3.5.2.6.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Étape 3.5.2.6.2.2

Soustrayez $1.31811607$ de $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Étape 3.5.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.5.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 3.6.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.6.2.4

$x = 2 π - 0$

Étape 3.6.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 3.6.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.6.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.6.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez $2 π n$ et $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ vrai.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$