Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{11 + x} = - 1$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{11 + x}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 x - 2} = - 1 - \sqrt{11 + x}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x - 2}}^{2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 2}$ comme ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x - 2)}^{1} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$3 x - 2 = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$ comme $(- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$ .

$3 x - 2 = (- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x - 2 = - 1 (- 1 - \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x - 2 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x - 2 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1 (- \sqrt{11 + x})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $\sqrt{11 + x}$ par $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $- \sqrt{11 + x} \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.1.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + 1 \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.3.1.3.2

Multipliez $\sqrt{11 + x}$ par $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + 1 \sqrt{11 + x} \sqrt{11 + x}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{11 + x}$ par $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} \sqrt{11 + x}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{11 + x}$ à la puissance $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1} \sqrt{11 + x}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{11 + x}$ à la puissance $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1} {\sqrt{11 + x}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{11 + x}}^{2}$ comme $11 + x$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11 + x}$ comme ${(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + 11 + x$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $11$ .

$3 x - 2 = 12 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + x$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{11 + x}$ et $\sqrt{11 + x}$ .

$3 x - 2 = 12 + 2 \sqrt{11 + x} + x$

Étape 4

Résolvez $2 \sqrt{11 + x}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $12 + 2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2$ .

$12 + 2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{11 + x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2 - 12$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{11 + x} = 3 x - 2 - 12 - x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$2 \sqrt{11 + x} = 2 x - 2 - 12$

Étape 4.2.4

Soustrayez $12$ de $- 2$ .

$2 \sqrt{11 + x} = 2 x - 14$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{11 + x})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11 + x}$ comme ${(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(11 + x)}^{1} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$4 (11 + x) = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 11 + 4 x = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $4$ par $11$ .

$44 + 4 x = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(2 x - 14)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 14)}^{2}$ comme $(2 x - 14) (2 x - 14)$ .

$44 + 4 x = (2 x - 14) (2 x - 14)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(2 x - 14) (2 x - 14)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$44 + 4 x = 2 x (2 x - 14) - 14 (2 x - 14)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$44 + 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x - 14)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$44 + 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 28 x - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 14$ par $- 14$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 28 x + 196$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $28 x$ de $- 28 x$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 56 x + 196$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} - 56 x + 196 = 44 + 4 x$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 56 x + 196 - 4 x = 44$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 56 x$ .

$4 x^{2} - 60 x + 196 = 44$

Étape 7.3

Soustrayez $44$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 60 x + 196 - 44 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $44$ de $196$ .

$4 x^{2} - 60 x + 152 = 0$

Étape 7.5

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 60 x + 152$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 60 x + 152 = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 60 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 15 x) + 152 = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $4$ à partir de $152$ .

$4 x^{2} + 4 (- 15 x) + 4 \cdot 38 = 0$

Étape 7.5.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 15 x)$ .

$4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 38 = 0$

Étape 7.5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 38$ .

$4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$

Étape 7.6

Divisez chaque terme dans $4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.6.1

Divisez chaque terme dans $4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 15 x + 38)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 7.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x^{2} - 15 x + 38)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 7.6.2.1.2

Divisez $x^{2} - 15 x + 38$ par $1$ .

$x^{2} - 15 x + 38 = \frac{0}{4}$

Étape 7.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.6.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{2} - 15 x + 38 = 0$

Étape 7.7

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.8

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 15$ et $c = 38$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 38)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.9.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 38$ .

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Étape 7.9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $38$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 152}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9.1.3

Soustrayez $152$ de $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{73}}{2}$

Étape 7.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{15 + \sqrt{73}}{2}, \frac{15 - \sqrt{73}}{2}$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{11 + x} = - 1$ vrai.

$Aucune solution$