Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $\cos^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

Étape 4

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - \sqrt{3}$ , $b = - 2$ et $c = \sqrt{3}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.3

Multipliez $4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 7.1.3.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.6

Additionnez $4$ et $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ .

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 7.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.6.1

Multipliez $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 7.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 7.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ .

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 11.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \sqrt{3}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Étape 12.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 12.4

Résolvez $x$ .

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Étape 12.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Étape 12.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 12.4.3

Soustrayez $0.6154797$ de $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , pour tout entier $n$