Trigonométrie Exemples

$8^{2 x} + 8^{x} - 42 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $8^{2 x}$ comme ${(8^{x})}^{2}$ .

${(8^{x})}^{2} + 8^{x} - 42 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = 8^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $8^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 42 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + u - 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 42$ et dont la somme est $1$ .

$- 6, 7$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 6) (u + 7) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8^{x}$ .

$(8^{x} - 6) (8^{x} + 7) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$8^{x} - 6 = 0$

$8^{x} + 7 = 0$

Étape 3

Définissez $8^{x} - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $8^{x} - 6$ égal à $0$ .

$8^{x} - 6 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $8^{x} - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$8^{x} = 6$

Étape 3.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (8^{x}) = \ln (6)$

Étape 3.2.3

Développez $\ln (8^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (8) = \ln (6)$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (8) = \ln (6)$ par $\ln (8)$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (8) = \ln (6)$ par $\ln (8)$ .

$\frac{x \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (8)$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Étape 4

Définissez $8^{x} + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $8^{x} + 7$ égal à $0$ .

$8^{x} + 7 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $8^{x} + 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$8^{x} = - 7$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (8^{x}) = \ln (- 7)$

Étape 4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 7)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $8^{x} = - 7$

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(8^{x} - 6) (8^{x} + 7) = 0$ vraie.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

Forme décimale :

$x = 0.86165416 \dots$