Trigonométrie Exemples

$\sec (t) - (\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}) = \tan (t)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\sec (t) - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} = \tan (t)$

Étape 1.1.2

Pour écrire $\frac{1}{\cos (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)} - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} = \tan (t)$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)} - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} = \tan (t)$

Étape 1.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (t) (1 + \sin (t))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (t)}$ par $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} - \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} = \tan (t)$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ par $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} - \frac{\cos (t) \cos (t)}{(1 + \sin (t)) \cos (t)} = \tan (t)$

Étape 1.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \sin (t)) \cos (t)$ .

$\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} - \frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \sin (t) - \cos (t) \cos (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- \cos (t) \cos (t)$ .

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Étape 1.1.6.1.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sin (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6.1.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sin (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \sin (t) - {\cos (t)}^{1 + 1}}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \sin (t) - \cos^{2} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6.2

Déplacez $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (t) + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (t) + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6.4

Factorisez $\sin (t)$ à partir de $\sin^{2} (t) + \sin (t)$ .

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Étape 1.1.6.4.1

Factorisez $\sin (t)$ à partir de $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t) + \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6.4.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cdot 1}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.6.4.3

Factorisez $\sin (t)$ à partir de $\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (t) (\sin (t) + 1)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.7

Annulez le facteur commun à $\sin (t) + 1$ et $1 + \sin (t)$ .

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Étape 1.1.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))} = \tan (t)$

Étape 1.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \tan (t)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (t)$ .

$\cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (t) = \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (t) = \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (t) = \sin (t)$

Étape 6

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$t = t$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant $t$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $t$ des deux côtés de l’équation.

$t - t = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $t$ de $t$ .

$0 = 0$

Étape 8

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $t$ .

Tous les nombres réels

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$