Trigonométrie Exemples

$(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

$\sec (x) - 1 = 0$

Étape 2

Définissez $\tan (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $\tan (x) - 1$ égal à $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\tan (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = 1$

Étape 2.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.2.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 2.2.5

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 2.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 2.2.5.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $\sec (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sec (x) - 1$ égal à $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sec (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sec (x) = 1$

Étape 3.2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $arcsec (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.4

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 3.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez les réponses.

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Étape 5.1

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2

Consolidez $2 π n$ et $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$