Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) = \cos (2 x) + 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\cos (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) = 1$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 2.1.1.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 2$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.2.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Étape 5

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\sin (x) - \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\sin (x) - \cos (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\sin (x) - \cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.4

Séparez les fractions.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 6.2.6

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Étape 6.2.7

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Étape 6.2.8

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = 1$

Étape 6.2.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 6.2.10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.10.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.11

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.12

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.2.12.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.12.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.12.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 6.2.12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.12.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 6.2.12.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.2.13

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 6.2.13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2.13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.2.13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.2.13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.2.14

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

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Étape 8.1

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$