Trigonométrie Exemples

$(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Étape 1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Étape 2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Étape 3

Développez $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ et $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.1.2

Additionnez $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ et $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.1.3

Additionnez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ et $0$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.2.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.2.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)$

Étape 4.2.3

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 4.2.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 4.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)$

Étape 4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \cos^{2} (x)$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{\cos (x)}$ et $b = \cos (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Étape 8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Étape 9

Développez $(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) + \cos (x) (\sec (x) - \cos (x))$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) (\sec (x) - \cos (x))$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Associez les termes opposés dans $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 10.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sec (x) (- \cos (x))$ et $\cos (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \cos (x) \sec (x) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 10.1.2

Additionnez $- \cos (x) \sec (x)$ et $\cos (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 10.1.3

Additionnez $\sec (x) \sec (x)$ et $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez $\sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 10.2.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 10.2.1.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 10.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 10.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 10.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sec^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)$

Étape 10.2.3

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 10.2.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 10.2.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 10.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 10.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)$