Trigonométrie Exemples

$\cos (4 x) - \cos (2 x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\cos (2 (2 x)) - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ comme $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.3

Développez $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4.1.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.4.1.2.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.4.2

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.2.6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.4

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Étape 1.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 1.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ de $- 8 \cos^{2} (x)$ .

$8 \cos^{4} (x) + 1 - 10 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 1.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \cos^{4} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 - 10 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1) - 10 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 10 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) + 1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 \cos^{4} (x) + 1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x))$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) + 1 - 5 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (4 \cos^{4} (x) - 5 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 5 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$2 (4 \cos^{4} (x) + (- 1 - 4) \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 \cos^{4} (x) - 1 \cos^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (4 \cos^{4} (x) - 1 \cos^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x) - 1) - (4 \cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 ((4 \cos^{2} (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $4 \cos^{2} (x)$ comme ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$2 (({(2 \cos (x))}^{2} - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Étape 2.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 (({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2}) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Étape 2.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 \cos (x)$ et $b = 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Étape 2.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Étape 2.7

Factorisez.

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Étape 2.7.1

Factorisez.

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Étape 2.7.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Étape 2.7.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Étape 2.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 \cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 4.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 4.2.6.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 5.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 6.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 6.2.4

$x = 2 π - π$

Étape 6.2.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 6.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 7.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.4

$x = 2 π - 0$

Étape 7.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 7.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 7.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$