Trigonométrie Exemples

$\sec (5 x) - 2 = 0$

Étape 1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sec (5 x) = 2$

Étape 2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$5 x = arcsec (2)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Étape 5

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.1.5

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{5 π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{5 π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sec (5 x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $5$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Étape 8

La période de la fonction $\sec (5 x)$ est $\frac{2 π}{5}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{5}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , pour tout entier $n$