Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{8}$

Étape 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{8}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{8}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 2.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 2.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 2.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}, - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 5

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 5.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{6}}{4})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\arctan (\frac{\sqrt{6}}{4})$ .

$θ = 0.54946724$

Étape 5.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = (3.14159265) + 0.54946724$

Étape 5.4

Résolvez $θ$ .

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Étape 5.4.1

Supprimez les parenthèses.

$θ = 3.14159265 + 0.54946724$

Étape 5.4.2

Supprimez les parenthèses.

$θ = (3.14159265) + 0.54946724$

Étape 5.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.54946724$ .

$θ = 3.69105989$

Étape 5.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = 0.54946724 + π n, 3.69105989 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 6.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- \frac{\sqrt{6}}{4})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\arctan (- \frac{\sqrt{6}}{4})$ .

$θ = - 0.54946724$

Étape 6.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - 0.54946724 - (3.14159265)$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.54946724 - (3.14159265)$ .

$θ = - 0.54946724 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 6.4.2

L’angle résultant de $2.5921254$ est positif et coterminal avec $- 0.54946724 - (3.14159265)$ .

$θ = 2.5921254$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.6.1

Ajoutez $π$ à $- 0.54946724$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.54946724 + π$

Étape 6.6.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 0.54946724$

Étape 6.6.3

Soustrayez $0.54946724$ de $3.14159265$ .

$2.5921254$

Étape 6.6.4

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 2.5921254$

Étape 6.7

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 0.54946724 + π n, 3.69105989 + π n, 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les solutions.

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Étape 8.1

Consolidez $0.54946724 + π n$ et $3.69105989 + π n$ en $0.54946724 + π n$ .

$θ = 0.54946724 + π n, 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $2.5921254 + π n$ et $2.5921254 + π n$ en $2.5921254 + π n$ .

$θ = 0.54946724 + π n, 2.5921254 + π n$ , pour tout entier $n$