Trigonométrie Exemples

$y = \frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}} = y$ .

$\frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}} = y$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $24 - \sqrt{x^{2} - 49}$ .

$\frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}} (24 - \sqrt{x^{2} - 49}) = y (24 - \sqrt{x^{2} - 49})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $24 - \sqrt{x^{2} - 49}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 7}{24 - \sqrt{x^{2} - 49}} (24 - \sqrt{x^{2} - 49}) = y (24 - \sqrt{x^{2} - 49})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + 7 = y (24 - \sqrt{x^{2} - 49})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $y (24 - \sqrt{x^{2} - 49})$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x + 7 = y (24 - \sqrt{x^{2} - 7^{2}})$

Étape 3.2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$x + 7 = y (24 - \sqrt{(x + 7) (x - 7)})$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 7 = y \cdot 24 + y (- \sqrt{(x + 7) (x - 7)})$

Étape 3.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.2.2.1

Déplacez $24$ à gauche de $y$ .

$x + 7 = 24 \cdot y + y (- \sqrt{(x + 7) (x - 7)})$

Étape 3.2.1.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 7 = 24 \cdot y - y \sqrt{(x + 7) (x - 7)}$

Étape 3.2.1.2.2.3

Remettez dans l’ordre $24 y$ et $- y \sqrt{(x + 7) (x - 7)}$ .

$x + 7 = - y \sqrt{(x + 7) (x - 7)} + 24 y$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- y \sqrt{(x + 7) (x - 7)} + 24 y = x + 7$

Étape 4.2

Soustrayez $24 y$ des deux côtés de l’équation.

$- y \sqrt{(x + 7) (x - 7)} = x + 7 - 24 y$

Étape 4.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- y \sqrt{(x + 7) (x - 7)})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 7) (x - 7)}$ comme ${((x + 7) (x - 7))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- y {((x + 7) (x - 7))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez ${(- y {((x + 7) (x - 7))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Développez $(x + 7) (x - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(- y {(x (x - 7) + 7 (x - 7))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(- y {(x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 (x - 7))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${(- y {(x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.2.1.2.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7$ .

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Étape 4.4.2.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 7$ et $7 x$ .

${(- y {(x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.2.1.2

Additionnez $- 7 x$ et $7 x$ .

${(- y {(x \cdot x + 0 + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.2.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

${(- y {(x \cdot x + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

${(- y {(x^{2} + 7 \cdot - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.2.2.2

Multipliez $7$ par $- 7$ .

${(- y {(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.4.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- y {(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- y)}^{2} {({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

${(- 1)}^{2} y^{2} {({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 y^{2} {({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.5

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} {({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} {(x^{2} - 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} {(x^{2} - 49)}^{1} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.7

Simplifiez

$y^{2} (x^{2} - 49) = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 49 = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.9

Déplacez $- 49$ à gauche de $y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = {(x + 7 - 24 y)}^{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Simplifiez ${(x + 7 - 24 y)}^{2}$ .

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Étape 4.4.3.1.1

Réécrivez ${(x + 7 - 24 y)}^{2}$ comme $(x + 7 - 24 y) (x + 7 - 24 y)$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = (x + 7 - 24 y) (x + 7 - 24 y)$

Étape 4.4.3.1.2

Développez $(x + 7 - 24 y) (x + 7 - 24 y)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x \cdot x + x \cdot 7 + x (- 24 y) + 7 x + 7 \cdot 7 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Étape 4.4.3.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + x \cdot 7 + x (- 24 y) + 7 x + 7 \cdot 7 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Étape 4.4.3.1.3.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 \cdot x + x (- 24 y) + 7 x + 7 \cdot 7 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Étape 4.4.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 7 \cdot 7 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Étape 4.4.3.1.3.1.4

Multipliez $7$ par $7$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 + 7 (- 24 y) - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Étape 4.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 24$ par $7$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 24 y \cdot 7 - 24 y (- 24 y)$

Étape 4.4.3.1.3.1.6

Multipliez $7$ par $- 24$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y - 24 y (- 24 y)$

Étape 4.4.3.1.3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y - 24 \cdot - 24 y \cdot y$

Étape 4.4.3.1.3.1.8

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.3.1.3.1.8.1

Déplacez $y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y - 24 \cdot - 24 (y \cdot y)$

Étape 4.4.3.1.3.1.8.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y - 24 \cdot - 24 y^{2}$

Étape 4.4.3.1.3.1.9

Multipliez $- 24$ par $- 24$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} + 7 x - 24 x y + 7 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y + 576 y^{2}$

Étape 4.4.3.1.3.2

Additionnez $7 x$ et $7 x$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} - 24 x y + 14 x + 49 - 168 y - 24 y x - 168 y + 576 y^{2}$

Étape 4.4.3.1.4

Soustrayez $24 y x$ de $- 24 x y$ .

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Étape 4.4.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} - 24 x y - 24 x y + 14 x + 49 - 168 y - 168 y + 576 y^{2}$

Étape 4.4.3.1.4.2

Soustrayez $24 x y$ de $- 24 x y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 168 y - 168 y + 576 y^{2}$

Étape 4.4.3.1.5

Soustrayez $168 y$ de $- 168 y$ .

$y^{2} x^{2} - 49 y^{2} = x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 576 y^{2}$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 576 y^{2} = y^{2} x^{2} - 49 y^{2}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $y^{2} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 576 y^{2} - y^{2} x^{2} = - 49 y^{2}$

Étape 4.5.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.5.3.1

Ajoutez $49 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 576 y^{2} - y^{2} x^{2} + 49 y^{2} = 0$

Étape 4.5.3.2

Additionnez $576 y^{2}$ et $49 y^{2}$ .

$x^{2} - 48 x y + 14 x + 49 - 336 y + 625 y^{2} - y^{2} x^{2} = 0$

Étape 4.5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5.5

Remplacez les valeurs $a = 1 - y^{2}$ , $b = - 48 y + 14$ et $c = 49 - 336 y + 625 y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (- 48 y + 14) \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot ((1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6

Simplifiez

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Étape 4.5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- (- 48 y) - 1 \cdot 14 \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.2

Multipliez $- 48$ par $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 1 \cdot 14 \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{{(- 48 y + 14)}^{2} - 4 \cdot ((1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5

Laissez $u = (1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})$ . Remplacez toutes les occurrences de $(1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})$ par $u$ .

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Étape 4.5.6.1.5.1

Réécrivez ${(- 48 y + 14)}^{2}$ comme $(- 48 y + 14) (- 48 y + 14)$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{(- 48 y + 14) (- 48 y + 14) - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.2

Développez $(- 48 y + 14) (- 48 y + 14)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.6.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 y (- 48 y + 14) + 14 (- 48 y + 14) - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 y (- 48 y) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y + 14) - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 y (- 48 y) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.6.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.6.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 \cdot (- 48 y \cdot y) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.6.1.5.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 \cdot (- 48 (y \cdot y)) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{- 48 \cdot (- 48 y^{2}) - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.3.1.3

Multipliez $- 48$ par $- 48$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 48 y \cdot 14 + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.3.1.4

Multipliez $14$ par $- 48$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 672 y + 14 (- 48 y) + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.3.1.5

Multipliez $- 48$ par $14$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 672 y - 672 y + 14 \cdot 14 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.3.1.6

Multipliez $14$ par $14$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 672 y - 672 y + 196 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.5.3.2

Soustrayez $672 y$ de $- 672 y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 1344 y + 196 - 4 \cdot u}}{2 (1 - y^{2})}$

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2304 y^{2} - 1344 y + 196 - 4 u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.6

Factorisez $4$ à partir de $2304 y^{2} - 1344 y + 196 - 4 u$ .

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Étape 4.5.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $2304 y^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2}) - 1344 y + 196 - 4 u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 1344 y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2}) + 4 (- 336 y) + 196 - 4 u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $196$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2}) + 4 (- 336 y) + 4 (49) - 4 u}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2}) + 4 (- 336 y) + 4 (49) + 4 (- u)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (576 y^{2}) + 4 (- 336 y)$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y) + 4 (49) + 4 (- u)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (576 y^{2} - 336 y) + 4 (49)$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49) + 4 (- u)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (576 y^{2} - 336 y + 49) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - u)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - ((1 - y^{2}) \cdot (49 - 336 y + 625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8

Simplifiez

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Étape 4.5.6.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.6.1.8.1.1

Développez $(1 - y^{2}) (49 - 336 y + 625 y^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (1 \cdot 49 + 1 (- 336 y) + 1 (625 y^{2}) - y^{2} \cdot 49 - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.6.1.8.1.2.1

Multipliez $49$ par $1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 + 1 (- 336 y) + 1 (625 y^{2}) - y^{2} \cdot 49 - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.2

Multipliez $- 336 y$ par $1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 1 (625 y^{2}) - y^{2} \cdot 49 - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.3

Multipliez $625 y^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - y^{2} \cdot 49 - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.4

Multipliez $49$ par $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - y^{2} (- 336 y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 y^{2} y) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.6

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.6.1.8.1.2.6.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 (y \cdot y^{2})) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.6.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 4.5.6.1.8.1.2.6.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 (y \cdot y^{2})) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 y^{1 + 2}) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} - 1 \cdot (- 336 y^{3}) - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 336$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - y^{2} (625 y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 1 \cdot (625 y^{2} y^{2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.9

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.6.1.8.1.2.9.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 1 \cdot (625 (y^{2} y^{2}))))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 1 \cdot (625 y^{2 + 2})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.9.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 1 \cdot (625 y^{4})))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.2.10

Multipliez $- 1$ par $625$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 625 y^{2} - 49 y^{2} + 336 y^{3} - 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.3

Soustrayez $49 y^{2}$ de $625 y^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - (49 - 336 y + 576 y^{2} + 336 y^{3} - 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 1 \cdot 49 - (- 336 y) - (576 y^{2}) - (336 y^{3}) - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.5

Simplifiez

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Étape 4.5.6.1.8.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 - (- 336 y) - (576 y^{2}) - (336 y^{3}) - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.5.2

Multipliez $- 336$ par $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - (576 y^{2}) - (336 y^{3}) - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.5.3

Multipliez $576$ par $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - 576 y^{2} - (336 y^{3}) - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.5.4

Multipliez $336$ par $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} - (- 625 y^{4}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.1.5.5

Multipliez $- 625$ par $- 1$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.2

Associez les termes opposés dans $576 y^{2} - 336 y + 49 - 49 + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4}$ .

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Étape 4.5.6.1.8.2.1

Soustrayez $49$ de $49$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 0 + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.2.2

Additionnez $576 y^{2} - 336 y$ et $0$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 336 y + 336 y - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.2.3

Additionnez $- 336 y$ et $336 y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} + 0 - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.2.4

Additionnez $576 y^{2}$ et $0$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (576 y^{2} - 576 y^{2} - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.2.5

Soustrayez $576 y^{2}$ de $576 y^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (0 - 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.8.3

Soustrayez $336 y^{3}$ de $0$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (- 336 y^{3} + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.9

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- 336 y^{3} + 625 y^{4}$ .

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Étape 4.5.6.1.9.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- 336 y^{3}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (y^{3} \cdot - 336 + 625 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.9.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $625 y^{4}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (y^{3} \cdot - 336 + y^{3} (625 y))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.9.3

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} \cdot - 336 + y^{3} (625 y)$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 (y^{3} (- 336 + 625 y))}}{2 (1 - y^{2})}$

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{4 y^{3} (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.10

Réécrivez $4 y^{3} (- 336 + 625 y)$ comme ${(2 y)}^{2} (y (- 336 + 625 y))$ .

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Étape 4.5.6.1.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2^{2} y^{3} (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.10.2

Factorisez $y^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} y) (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.10.3

Réécrivez $2^{2} y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} y (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.10.4

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{48 y - 14 \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} (y (- 336 + 625 y))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{48 y - 14 \pm 2 y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.5.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm 2 y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{2 (1^{2} - y^{2})}$

Étape 4.5.6.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$x = \frac{48 y - 14 \pm 2 y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{2 (1 + y) (1 - y)}$

Étape 4.5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{24 y - 7 + y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 - y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 + y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 - y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 + y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \frac{24 y - 7 - y \sqrt{y (- 336 + 625 y)}}{(1 + y) (1 - y)}$