Trigonométrie Exemples

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$3 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Étape 4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x = π + \frac{π}{6}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 5.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 5.1.4

Additionnez $π \cdot 6$ et $π$ .

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Étape 5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$3 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $6 \cdot π$ et $π$ .

$3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Étape 6

Déterminez la période de $\tan (3 x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 3 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 7

La période de la fonction $\tan (3 x)$ est $\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$