Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \cos (a)) \sin (a)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sin (a)}{1 + \cos (a)}$ par $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 + \cos (a)) \sin (a)} + \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$ par $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 + \cos (a)) \sin (a)} + \frac{(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \cos (a)) \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))} + \frac{(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (a) \sin (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $\sin (a) \sin (a)$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $\sin (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.1.2

Élevez $\sin (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + (1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.2

Développez $(1 + \cos (a)) (1 + \cos (a))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 (1 + \cos (a)) + \cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + 1 \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $\cos (a)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) \cdot 1 + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $\cos (a)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $\cos (a) \cos (a)$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.3.1.4.2

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + \cos (a) + \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.3.2

Additionnez $\cos (a)$ et $\cos (a)$ .

$\frac{\sin^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.4

Réécrivez $\sin^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.1

Regroupez les termes.

$\frac{\sin^{2} (a) + \cos^{2} (a) + 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \cos (a)$ .

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Étape 5.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (a)}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 5.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cos (a)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $1 + \cos (a)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (a))}{\sin (a) (1 + \cos (a))}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\sin (a)}$

Étape 7

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (a)}$

Étape 8

Convertissez de $\frac{1}{\sin (a)}$ à $\csc (a)$ .

$\frac{2}{1} \csc (a)$

Étape 9

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \csc (a)$