Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (60) - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2^{2}} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{4} - \cos^{2} (45) - \sin^{2} (30)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3}{4} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} - \frac{2^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2^{2}} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2 (1)}{4} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \sin^{2} (30)$

Étape 1.10

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}}$

Étape 1.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 1}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 4.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$0$