Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (225) - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

${(- \sin (45))}^{2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{1}}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{2^{2}} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{4} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - \cos^{2} (180) + \tan^{2} (60)$

Étape 1.9

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{2} - {(- \cos (0))}^{2} + \tan^{2} (60)$

Étape 1.10

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} - {(- 1 \cdot 1)}^{2} + \tan^{2} (60)$

Étape 1.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - {(- 1)}^{2} + \tan^{2} (60)$

Étape 1.12

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 1.12.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + \tan^{2} (60)$

Étape 1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{1 + 2} + \tan^{2} (60)$

Étape 1.12.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} + \tan^{2} (60)$

Étape 1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} - 1 + \tan^{2} (60)$

Étape 1.14

La valeur exacte de $\tan (60)$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2} - 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 1.15

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.15.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.15.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} - 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.15.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.15.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - 1 + 3^{1}$

Étape 1.15.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} - 1 + 3$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} + 3$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 3$

Étape 2.4

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 - 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1 - 2 + 6}{2}$

Étape 5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 + 6}{2}$

Étape 5.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{2}$

Forme décimale :

$2.5$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{1}{2}$