Trigonométrie Exemples

$\sec^{2} (\frac{π}{6}) - 8$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} - 8$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} - 8$

Étape 1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} - 8$

Étape 1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - 8$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} - 8$

Étape 1.4.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - 8$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - 8$

Étape 1.5.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - 8$

Étape 1.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - 8$

Étape 1.5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - 8$

Étape 1.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - 8$

Étape 1.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} - 8$

Étape 1.5.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} - 8$

Étape 1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \cdot 3}{9} - 8$

Étape 1.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{9} - 8$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 1.8.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (4)}{9} - 8$

Étape 1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} - 8$

Étape 1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} - 8$

Étape 1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - 8$

Étape 2

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3

Associez $- 8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 8 \cdot 3}{3}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{4 - 24}{3}$

Étape 5.2

Soustrayez $24$ de $4$ .

$\frac{- 20}{3}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{20}{3}$

Forme décimale :

$- 6.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$- 6 \frac{2}{3}$