Trigonométrie Exemples

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x}{x - 1}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 2) + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 5.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 5.4

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 5.5

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 5.6

Réécrivez $x^{2} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 5.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x - 2}$