Trigonométrie Exemples

$\tan^{9} (45) + \csc^{2} (60) + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$1^{9} + \csc^{2} (60) + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \csc^{2} (60) + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\csc (60)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$1 + {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$1 + {(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$1 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$1 + \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.6.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$1 + \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 + \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.7.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.7.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.7.2.5

Évaluez l’exposant.

$1 + \frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{9} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.9

Multipliez $4$ par $3$ .

$1 + \frac{12}{9} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.10

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 1.10.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$1 + \frac{3 (4)}{9} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$1 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{4}{3} + \sin (30) + \cos^{2} (60)$

Étape 1.11

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \cos^{2} (60)$

Étape 1.12

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}}$

Étape 1.15

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{4}$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{1}{4}$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{3}{4 \cdot 3}$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{3}{4 \cdot 3}$

Étape 2.11

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3}$

Étape 2.12

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 3$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{3}{3 \cdot 4}$

Étape 2.13

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{3}{12}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 + 4 \cdot 4 + 6 + 3}{12}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{12 + 16 + 6 + 3}{12}$

Étape 4.2

Additionnez $12$ et $16$ .

$\frac{28 + 6 + 3}{12}$

Étape 4.3

Additionnez $28$ et $6$ .

$\frac{34 + 3}{12}$

Étape 4.4

Additionnez $34$ et $3$ .

$\frac{37}{12}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{37}{12}$

Forme décimale :

$3.08\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$3 \frac{1}{12}$