Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (75) - \tan^{2} (15)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\csc (75)$ est $- \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\csc^{2} (30 + 45) - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

${(\frac{\sec (30) \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\sec (30)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\sec (45)$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\csc (30)$ est $2$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\csc (45)$ est $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.7

La valeur exacte de $\sec (30)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \csc (45) + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.8

La valeur exacte de $\csc (45)$ est $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + \csc (30) \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.9

La valeur exacte de $\csc (30)$ est $2$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \sec (45)})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.10

La valeur exacte de $\sec (45)$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11

Simplifiez $\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$ .

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Étape 1.1.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.11.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.1.2

Associez $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ et $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.1.3

Associez $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ et $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.11.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.11.2.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.1.11.2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.11.2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}$ .

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Étape 1.1.11.2.3.1

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.11.2.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.1.11.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.11.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.11.2.6.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.6.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.7

Pour écrire $2 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.8

Associez $2 \sqrt{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

${(\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.11.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

${(\frac{\frac{4 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.11.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3 \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.11.5.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{6}$ en un radical unique.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 1.1.11.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.11.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

${(\frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.11.5.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.1.11.5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.11.5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.5.7

Associez $8$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.11.7.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.7.2

Réécrivez l’expression.

${(8 \sqrt{3} \frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.8

Associez $\frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ et $8$ .

${(\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}} \sqrt{3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.9

Associez $\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ et $\sqrt{3}$ .

${(\frac{8 \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.10

Annulez le facteur commun à $8$ et $2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ .

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Étape 1.1.11.10.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{3}$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.11.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 6 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.10.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.10.2.4

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.10.2.5

Réécrivez l’expression.

${(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.11

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

${(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.12

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.13

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - 9 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.14

Simplifiez

${(\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 12})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.15

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 12$ .

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Étape 1.1.11.15.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})$ .

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{- 12})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.11.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.15.2.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.15.2.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.16

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.17

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.18

Multipliez $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})$ .

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Étape 1.1.11.18.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.18.2

Multipliez $3$ par $2$ .

${(\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.11.19.1

Multipliez $3$ par $6$ .

${(\frac{\sqrt{18} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.19.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.11.19.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

${(\frac{\sqrt{9 (2)} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.19.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.19.3

Extrayez les termes de sous le radical.

${(\frac{3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.20

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}$ et $- 3$ .

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Étape 1.1.11.20.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{2}$ .

${(\frac{3 (\sqrt{2}) - 3 \sqrt{6}}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.20.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sqrt{6}$ .

${(\frac{3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.20.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})$ .

${(\frac{3 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 3})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.20.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

${(- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6}))}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.21

Réécrivez $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ comme $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

${(- (\sqrt{2} - \sqrt{6}))}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.22

Appliquez la propriété distributive.

${(- \sqrt{2} - - \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.23

Multipliez $- - \sqrt{6}$ .

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Étape 1.1.11.23.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.1.11.23.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

${(- \sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.2

Réécrivez ${(- \sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ comme $(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Étape 1.3

Développez $(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) - \tan^{2} (15)$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.1.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.1.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$2 - \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Étape 1.4.1.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$2 - \sqrt{12} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$2 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.7

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.4.1.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.7.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.8

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.4.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.12

Multipliez $6$ par $6$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{36} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.13

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.1.14

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 6 - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.4.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (15)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\tan (15)$ est $2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 1.5.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (45 - 30)$

Étape 1.5.2

Séparez la négation.

$8 - 4 \sqrt{3} - \tan^{2} (45 - (30))$

Étape 1.5.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Étape 1.5.4

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Étape 1.5.5

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Étape 1.5.6

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}$

Étape 1.5.7

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.5.8

Simplifiez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Étape 1.5.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 1.5.8.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.5.8.1.2

Associez.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.5.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.5.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.5.8.3.2

Annulez le facteur commun.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.5.8.3.3

Réécrivez l’expression.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.5.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.5.8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.5.8.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.8.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.5.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.5.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Étape 1.5.8.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})}^{2}$

Étape 1.5.8.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}$

Étape 1.5.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Étape 1.5.8.9

Simplifiez

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.8.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 1.5.8.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.5.8.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.8.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 1.5.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.5.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Étape 1.5.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Étape 1.5.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$8 - 4 \sqrt{3} - {(\frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Étape 1.5.8.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.6

Réécrivez ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))$

Étape 1.7

Développez $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 - 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Étape 1.8.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 1.8.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})$

Étape 1.8.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})$

Étape 1.8.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Étape 1.8.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Étape 1.8.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})$

Étape 1.8.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 1.8.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.8.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 1.8.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Étape 1.8.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Étape 1.8.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Étape 1.8.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1})$

Étape 1.8.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$8 - 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3)$

Étape 1.8.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3})$

Étape 1.8.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - (7 - 4 \sqrt{3})$

Étape 1.9

Appliquez la propriété distributive.

$8 - 4 \sqrt{3} - 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Étape 1.10

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Étape 1.11

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$8 - 4 \sqrt{3} - 7 + 4 \sqrt{3}$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Soustrayez $7$ de $8$ .

$1 - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$

Étape 2.2

Additionnez $- 4 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{3}$ .

$1 + 0$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$