Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (67.5) - \sin^{2} (67.5)$

Étape 1

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 \cdot 67.5)$

Étape 2

Multipliez $2$ par $67.5$ .

$\cos (135)$

Étape 3

La valeur exacte de $\cos (135)$ est $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $135$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{270}{2})$

Étape 3.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Étape 3.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$ .

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Étape 3.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (90)}{2}}$

Étape 3.4.2

La valeur exacte de $\cos (90)$ est $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 - 0}{2}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Étape 3.4.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.8.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.8.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.70710678 \dots$