Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (60) + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{2} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Étape 1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Étape 1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Étape 1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{4} + {(- \sec (30))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\sec (30)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.7

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.9.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.11

Multipliez $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.12.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.12.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.12.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.12.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.12.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.12.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.12.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.12.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.13

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{9} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.14

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{12}{9} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.15

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 1.15.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 (4)}{9} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \csc^{2} (225)$

Étape 1.16

Apply the reference angle by finding the angle with equivalent trig values in the first quadrant. Make the expression negative because cosecant is negative in the third quadrant.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \csc (45))}^{2}$

Étape 1.17

La valeur exacte de $\csc (45)$ est $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.18

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 1.19

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 1.20

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 1.21

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.21.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.21.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.21.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.21.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.21.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.21.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{1}$

Étape 1.21.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} + 2$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 2$

Étape 2.5

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Étape 2.8

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 3$ .

$\frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Étape 2.9

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 12}{12}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{3 + 16 + 2 \cdot 12}{12}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$\frac{3 + 16 + 24}{12}$

Étape 5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.1

Additionnez $3$ et $16$ .

$\frac{19 + 24}{12}$

Étape 5.2

Additionnez $19$ et $24$ .

$\frac{43}{12}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{43}{12}$

Forme décimale :

$3.58\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$3 \frac{7}{12}$