Trigonométrie Exemples

$\cos^{3} (x) - \sin^{3} (x)$

Étape 1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) - \sin (x)) (\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x))$

Étape 2

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$(\cos (x) - \sin (x)) (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x))$

Étape 3

Réorganisez les termes.

$(\cos (x) - \sin (x)) (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x))$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$(\cos (x) - \sin (x)) (1 + \cos (x) \sin (x))$

Étape 5

Développez $(\cos (x) - \sin (x)) (1 + \cos (x) \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (1 + \cos (x) \sin (x)) - \sin (x) (1 + \cos (x) \sin (x))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\cos (x) \sin (x)) - \sin (x) (1 + \cos (x) \sin (x))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\cos (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (\cos (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 6.2

Multipliez $\cos (x) (\cos (x) \sin (x))$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 6.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) + \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (x) + \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 6.4

Multipliez $- \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$ .

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Étape 6.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) + \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)$

Étape 6.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) + \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

Étape 6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) + \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)$

Étape 6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) + \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$