Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1}$ .

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} \cdot \frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} \cdot \frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (u) (\cos (u) + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)}$ par $\frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1}$ .

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$ par $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{(\cos (u) + 1) \sin (u)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(\cos (u) + 1) \sin (u)$ .

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (u) (\cos (u) + 1) + 1 (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $\cos (u) \cos (u)$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (u)}^{1 + 1} + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\cos (u)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\cos (u)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + \cos (u) + 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.2.2

Additionnez $\cos (u)$ et $\cos (u)$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.3

Multipliez $\sin (u) \sin (u)$ .

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Étape 5.3.1

Élevez $\sin (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{1} (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.3.2

Élevez $\sin (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + {\sin (u)}^{1 + 1}}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{2} (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.4

Réécrivez $\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{2} (u)$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.1

Regroupez les termes.

$\frac{\cos^{2} (u) + \sin^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.4.2

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin^{2} (u) + \cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \cos (u)$ .

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Étape 5.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 5.4.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cos (u)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $1 + \cos (u)$ et $\cos (u) + 1$ .

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\sin (u)}$

Étape 7

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (u)}$

Étape 8

Convertissez de $\frac{1}{\sin (u)}$ à $\csc (u)$ .

$\frac{2}{1} \csc (u)$

Étape 9

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \csc (u)$