Trigonométrie Exemples

$\frac{3 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $1$ plus $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $\sin (x) + 1$ et ${(\sin (x) + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\sin (x) + 1$ à partir de $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $\sin (x) + 1$ à partir de ${(\sin (x) + 1)}^{2}$ .

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$