Trigonométrie Exemples

${(2 \cos (x) - 2 \sin (x))}^{2} + 4 \sin (2 x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 \cos (x) - 2 \sin (x))}^{2}$ comme $(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ .

$(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.2

Développez $(2 \cos (x) - 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $- 2 \sin (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$4 \cos^{2} (x) - 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.4

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.6

Ajoutez des parenthèses.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.7

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.8

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (x) (- 2 \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.9

Multipliez $- 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Étape 1.3.1.9.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.9.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.9.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2 \sin (2 x)$ de $- 2 \sin (2 x)$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.4

Déplacez $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 \cos^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.8

Réorganisez les termes.

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$4 \cdot 1 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 1.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 2

Associez les termes opposés dans $4 - 4 \sin (2 x) + 4 \sin (2 x)$ .

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Étape 2.1

Additionnez $- 4 \sin (2 x)$ et $4 \sin (2 x)$ .

$4 + 0$

Étape 2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$