Trigonométrie Exemples

${(3 + i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$3^{4} + 4 \cdot 3^{3} i + 6 \cdot 3^{2} i^{2} + 4 \cdot 3 i^{3} + i^{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 + 4 \cdot 3^{3} i + 6 \cdot 3^{2} i^{2} + 4 \cdot 3 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 + 4 \cdot 27 i + 6 \cdot 3^{2} i^{2} + 4 \cdot 3 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$81 + 108 i + 6 \cdot 3^{2} i^{2} + 4 \cdot 3 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 + 108 i + 6 \cdot 9 i^{2} + 4 \cdot 3 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.5

Multipliez $6$ par $9$ .

$81 + 108 i + 54 i^{2} + 4 \cdot 3 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$81 + 108 i + 54 \cdot - 1 + 4 \cdot 3 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.7

Multipliez $54$ par $- 1$ .

$81 + 108 i - 54 + 4 \cdot 3 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$81 + 108 i - 54 + 12 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.9

Factorisez $i^{2}$ .

$81 + 108 i - 54 + 12 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$81 + 108 i - 54 + 12 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$81 + 108 i - 54 + 12 (- i) + i^{4}$

Étape 2.1.12

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$81 + 108 i - 54 - 12 i + i^{4}$

Étape 2.1.13

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.13.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$81 + 108 i - 54 - 12 i + {(i^{2})}^{2}$

Étape 2.1.13.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$81 + 108 i - 54 - 12 i + {(- 1)}^{2}$

Étape 2.1.13.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$81 + 108 i - 54 - 12 i + 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $54$ de $81$ .

$27 + 108 i - 12 i + 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $27$ et $1$ .

$28 + 108 i - 12 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $12 i$ de $108 i$ .

$28 + 96 i$