Trigonométrie Exemples

${(3 - 3 i)}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$3^{6} + 6 \cdot 3^{5} (- 3 i) + 15 \cdot 3^{4} {(- 3 i)}^{2} + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$729 + 6 \cdot 3^{5} (- 3 i) + 15 \cdot 3^{4} {(- 3 i)}^{2} + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$729 + 6 \cdot 243 (- 3 i) + 15 \cdot 3^{4} {(- 3 i)}^{2} + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.3

Multipliez $6$ par $243$ .

$729 + 1458 (- 3 i) + 15 \cdot 3^{4} {(- 3 i)}^{2} + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1458$ .

$729 - 4374 i + 15 \cdot 3^{4} {(- 3 i)}^{2} + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$729 - 4374 i + 15 \cdot 81 {(- 3 i)}^{2} + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.6

Multipliez $15$ par $81$ .

$729 - 4374 i + 1215 {(- 3 i)}^{2} + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- 3 i$ .

$729 - 4374 i + 1215 ({(- 3)}^{2} i^{2}) + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$729 - 4374 i + 1215 (9 i^{2}) + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$729 - 4374 i + 1215 (9 \cdot - 1) + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.10

Multipliez $1215 (9 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$729 - 4374 i + 1215 \cdot - 9 + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $1215$ par $- 9$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 20 \cdot 3^{3} {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 20 \cdot 27 {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.12

Multipliez $20$ par $27$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 540 {(- 3 i)}^{3} + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.13

Appliquez la règle de produit à $- 3 i$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 540 ({(- 3)}^{3} i^{3}) + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.14

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 540 (- 27 i^{3}) + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 540 (- 27 (i^{2} \cdot i)) + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 540 (- 27 (- 1 \cdot i)) + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 540 (- 27 (- i)) + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.18

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 540 (27 i) + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.19

Multipliez $27$ par $540$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 15 \cdot 3^{2} {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.20

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 15 \cdot 9 {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.21

Multipliez $15$ par $9$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 135 {(- 3 i)}^{4} + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.22

Appliquez la règle de produit à $- 3 i$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 135 ({(- 3)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.23

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 135 (81 i^{4}) + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.24

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.24.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 135 (81 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.24.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 135 (81 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.24.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 135 (81 \cdot 1) + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.25

Multipliez $135 (81 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.25.1

Multipliez $81$ par $1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 135 \cdot 81 + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.25.2

Multipliez $135$ par $81$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 6 \cdot 3 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.26

Multipliez $6$ par $3$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 18 {(- 3 i)}^{5} + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.27

Appliquez la règle de produit à $- 3 i$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 18 ({(- 3)}^{5} i^{5}) + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.28

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 18 (- 243 i^{5}) + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.29

Factorisez $i^{4}$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 18 (- 243 (i^{4} i)) + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.30

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.30.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 18 (- 243 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 18 (- 243 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.30.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 18 (- 243 (1 i)) + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.31

Multipliez $i$ par $1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 + 18 (- 243 i) + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.32

Multipliez $- 243$ par $18$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + {(- 3 i)}^{6}$

Étape 2.1.33

Appliquez la règle de produit à $- 3 i$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + {(- 3)}^{6} i^{6}$

Étape 2.1.34

Élevez $- 3$ à la puissance $6$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + 729 i^{6}$

Étape 2.1.35

Factorisez $i^{4}$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + 729 (i^{4} i^{2})$

Étape 2.1.36

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.36.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + 729 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

Étape 2.1.36.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + 729 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

Étape 2.1.36.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + 729 (1 i^{2})$

Étape 2.1.37

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + 729 i^{2}$

Étape 2.1.38

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i + 729 \cdot - 1$

Étape 2.1.39

Multipliez $729$ par $- 1$ .

$729 - 4374 i - 10935 + 14580 i + 10935 - 4374 i - 729$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $10935$ de $729$ .

$- 10206 - 4374 i + 14580 i + 10935 - 4374 i - 729$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 10206$ et $10935$ .

$729 - 4374 i + 14580 i - 4374 i - 729$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $729$ de $729$ .

$0 - 4374 i + 14580 i - 4374 i$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $4374 i$ de $0$ .

$- 4374 i + 14580 i - 4374 i$

Étape 2.2.3

Additionnez $- 4374 i$ et $14580 i$ .

$10206 i - 4374 i$

Étape 2.2.4

Soustrayez $4374 i$ de $10206 i$ .

$5832 i$