Trigonométrie Exemples

${(1 + \tan (x))}^{2} + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + \tan (x))}^{2}$ comme $(1 + \tan (x)) (1 + \tan (x))$ .

$(1 + \tan (x)) (1 + \tan (x)) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(1 + \tan (x)) (1 + \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 + \tan (x)) + \tan (x) (1 + \tan (x)) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 \tan (x) + \tan (x) (1 + \tan (x)) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$1 + \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$1 + \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \tan (x) + \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.3.1.4.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \tan (x) + \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \tan (x) + \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \tan (x) + \tan (x) + \tan^{2} (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.3.2

Additionnez $\tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + {(1 - \tan (x))}^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(1 - \tan (x))}^{2}$ comme $(1 - \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + (1 - \tan (x)) (1 - \tan (x))$

Étape 1.5

Développez $(1 - \tan (x)) (1 - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 (1 - \tan (x)) - \tan (x) (1 - \tan (x))$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) - \tan (x) (1 - \tan (x))$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) - \tan (x) \cdot 1 - \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 + 1 (- \tan (x)) - \tan (x) \cdot 1 - \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- \tan (x)$ par $1$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) \cdot 1 - \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) - \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 1.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) \tan (x)$

Étape 1.6.1.4.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + \tan (x) \tan (x)$

Étape 1.6.1.4.3

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x)$

Étape 1.6.1.4.4

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)$

Étape 1.6.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1}$

Étape 1.6.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - \tan (x) - \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 1.6.2

Soustrayez $\tan (x)$ de $- \tan (x)$ .

$1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $1 + 2 \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan (x) + \tan^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $2 \tan (x)$ de $2 \tan (x)$ .

$1 + 0 + \tan^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x)$

Étape 2.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + \tan^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x)$

Étape 2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 2.3

Additionnez $\tan^{2} (x)$ et $\tan^{2} (x)$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 2.4

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (1) + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 \tan^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (\tan^{2} (x))$

Étape 2.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (\tan^{2} (x))$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x))$

Étape 3

Réorganisez les termes.

$2 (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \sec^{2} (x)$