Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos^{2} (t) + \tan^{2} (t) - 1}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos^{2} (t) + {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} - 1}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} - 1}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.3

Déplacez $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (t)$ et $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.8

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ comme $- (1 - \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \sin^{2} (t) + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.10

Factorisez $\sin^{2} (t)$ à partir de $- \sin^{2} (t) + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

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Étape 1.10.1

Factorisez $\sin^{2} (t)$ à partir de $- \sin^{2} (t)$ .

$\frac{\sin^{2} (t) \cdot - 1 + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.10.2

Factorisez $\sin^{2} (t)$ à partir de $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t) \cdot - 1 + \sin^{2} (t) \frac{1}{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.10.3

Factorisez $\sin^{2} (t)$ à partir de $\sin^{2} (t) \cdot - 1 + \sin^{2} (t) \frac{1}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t) (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (t)})}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.11

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (t) (- 1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)})}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.12

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (t) (- 1 + {(\frac{1}{\cos (t)})}^{2})}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.13

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (t) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\cos (t)})}^{2})}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.14

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et ${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (t) ({(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - 1^{2})}{\sin^{2} (t)}$

Étape 1.15

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{\cos (t)}$ et $b = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) (\frac{1}{\cos (t)} + 1) (\frac{1}{\cos (t)} - 1)}{\sin^{2} (t)}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (t)$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (t) (\frac{1}{\cos (t)} + 1) (\frac{1}{\cos (t)} - 1)}{\sin^{2} (t)}$

Étape 2.2

Divisez $(\frac{1}{\cos (t)} + 1) (\frac{1}{\cos (t)} - 1)$ par $1$ .

$(\frac{1}{\cos (t)} + 1) (\frac{1}{\cos (t)} - 1)$

Étape 3

Développez $(\frac{1}{\cos (t)} + 1) (\frac{1}{\cos (t)} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (t)} (\frac{1}{\cos (t)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (t)} - 1)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (t)} - 1)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$ .

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (t)}$ par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{\cos (t) \cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4.1.1.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (t) \cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4.1.1.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)} + \frac{1}{\cos (t)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (t)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{\cos (t)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{1}{\cos (t)}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{- 1}{\cos (t)} + 1 \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - \frac{1}{\cos (t)} + 1 \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (t)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - \frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} + 1 \cdot - 1$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - \frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} - 1$

Étape 4.2

Additionnez $- \frac{1}{\cos (t)}$ et $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + 0 - 1$

Étape 4.3

Additionnez $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ et $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - 1$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - 1$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - 1$

Étape 5.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (t)}$ à $\sec (t)$ .

$\sec^{2} (t) - 1$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\tan^{2} (t)$