Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sec (x)$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Développez $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 5.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ et $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.1.2

Additionnez $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ et $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.1.3

Additionnez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ et $0$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 5.2.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5.3.2

Associez.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6

Multipliez $- \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Étape 6.1

Associez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 9

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 10

Réécrivez $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 11

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{\sin (x)}$ et $b = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Étape 12.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Étape 12.1.3

Séparez les fractions.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Étape 12.1.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Étape 12.1.5

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Étape 12.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 13

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 14.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 14.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 14.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x)}{1}$

Étape 14.1.2.4

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \sin (x)$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Étape 15

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Réécrivez $\csc (x) \sin (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Étape 15.2

Annulez les facteurs communs.

$1 + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$