Trigonométrie Exemples

$\frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1

Factorisez $1$ à partir de $\frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $1$ à partir de $\frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$ .

$1 \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2

Factorisez $1$ à partir de $\frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ .

$1 \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + 1 \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + 1 \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ .

$1 (\frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)})$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 (\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{1 - \cos^{2} (x)})$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 (\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{\cot^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\cot (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\cot (x)}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2.7

Réécrivez $\frac{\tan^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\tan (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\tan (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 4.2.8

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 4.2.9

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 4.2.10

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 4.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.2.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.2.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\csc^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\csc^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\csc^{2} (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.3.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\csc^{2} (x) + \sec^{2} (x)$