Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $b = \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 4.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 4.2.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 5

Développez $(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) (\tan (x) - \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez les termes opposés dans $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

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Étape 6.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\tan (x) (- \sec (x))$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Étape 6.1.2

Additionnez $- \sec (x) \tan (x)$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sec (x) (- \sec (x))$

Étape 6.1.3

Additionnez $\tan (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 6.2.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Étape 6.2.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Étape 6.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sec (x) (- \sec (x))$

Étape 6.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Étape 6.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\tan^{2} (x) - \sec (x) \sec (x)$

Étape 6.2.3

Multipliez $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 6.2.3.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))$

Étape 6.2.3.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

Étape 6.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan^{2} (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}$

Étape 6.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Étape 6.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.3.1

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (x)$ et $- \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 6.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)$

Étape 6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$

Étape 6.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 1 \cdot 1$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$