Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin^{2} (x) - 9}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{10 \cos (x) + 5}{3 \sin (x) + 9}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 3^{2}}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{10 \cos (x) + 5}{3 \sin (x) + 9}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (x)$ et $b = 3$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{10 \cos (x) + 5}{3 \sin (x) + 9}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \cos (x) + 5$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x)) + 5}{3 \sin (x) + 9}$

Étape 2.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x)) + 5 (1)}{3 \sin (x) + 9}$

Étape 2.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 \cos (x)) + 5 (1)$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3 \sin (x) + 9}$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sin (x) + 9$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3 (\sin (x)) + 9}$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3 \sin (x) + 3 \cdot 3}$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \sin (x) + 3 \cdot 3$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3 (\sin (x) + 3)}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x) + 3$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $\sin (x) + 3$ à partir de $3 (\sin (x) + 3)$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{(\sin (x) + 3) \cdot 3}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{(\sin (x) + 3) \cdot 3}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) - 3}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $2 \cos (x) + 1$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $2 \cos (x) + 1$ à partir de $5 (2 \cos (x) + 1)$ .

$\frac{\sin (x) - 3}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{(2 \cos (x) + 1) \cdot 5}{3}$

Étape 2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) - 3}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{(2 \cos (x) + 1) \cdot 5}{3}$

Étape 2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$(\sin (x) - 3) \cdot \frac{5}{3}$

Étape 2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{5}{3} - 3 (\frac{5}{3})$

Étape 2.2.5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{5}{3}$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} - 3 (\frac{5}{3})$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} + 3 (- 1) \frac{5}{3}$

Étape 2.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{5}{3}$

Étape 2.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} - 1 \cdot 5$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} - 5$

Étape 2.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{3} - 5$