Trigonométrie Exemples

${(3 (\cos (100) + i \sin (100)))}^{3}$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

${(3 \cos (100) + 3 (i \sin (100)))}^{3}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(3 \cos (100))}^{3} + 3 {(3 \cos (100))}^{2} (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \cos (100)$ .

$3^{3} \cos^{3} (100) + 3 {(3 \cos (100))}^{2} (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3 {(3 \cos (100))}^{2} (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.3

Appliquez la règle de produit à $3 \cos (100)$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3 (3^{2} \cos^{2} (100)) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.4

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Déplacez $3^{2}$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{2} \cdot 3 \cos^{2} (100) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 3.1.4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{2} \cdot 3^{1} \cos^{2} (100) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 \cos^{3} (100) + 3^{2 + 1} \cos^{2} (100) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{3} \cos^{2} (100) (3 i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.5

Multipliez $3^{3}$ par $3$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3 \cdot 3^{3} \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $3$ par $3^{3}$ .

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Étape 3.1.5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{1} \cdot 3^{3} \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 \cos^{3} (100) + 3^{1 + 3} \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 3^{4} \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.6

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) (i \sin (100)) + 3 (3 \cos (100)) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) {(3 i \sin (100))}^{2} + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $3 i \sin (100)$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) (9 i^{2} \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.11

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) + 9 \cos (100) (- 9 \sin^{2} (100)) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.12

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + {(3 i \sin (100))}^{3}$

Étape 3.1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.13.1

Appliquez la règle de produit à $3 i \sin (100)$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + {(3 i)}^{3} \sin^{3} (100)$

Étape 3.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 3^{3} i^{3} \sin^{3} (100)$

Étape 3.1.14

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 i^{3} \sin^{3} (100)$

Étape 3.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (100)$

Étape 3.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (100)$

Étape 3.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 (- i) \sin^{3} (100)$

Étape 3.1.18

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) - 27 i \sin^{3} (100)$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $27 \cos^{3} (100) + 81 \cos^{2} (100) i \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) - 27 i \sin^{3} (100)$ .

$27 \cos^{3} (100) + 81 i \cos^{2} (100) \sin (100) - 81 \cos (100) \sin^{2} (100) - 27 i \sin^{3} (100)$

Étape 3.2.2

Remettez dans l’ordre $27 \cos^{3} (100) + 81 i \cos^{2} (100) \sin (100)$ et $- 81 \cos (100) \sin^{2} (100)$ .

$- 81 \cos (100) \sin^{2} (100) + 27 \cos^{3} (100) + 81 i \cos^{2} (100) \sin (100) - 27 i \sin^{3} (100)$