Trigonométrie Exemples

${(\cos (t) - \sec (t))}^{2}$

Étape 1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)})}^{2}$

Étape 2

Réécrivez ${(\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)})}^{2}$ comme $(\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)}) (\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)})$ .

$(\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)}) (\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 3

Développez $(\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)}) (\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (t) (\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)}) - \frac{1}{\cos (t)} (\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (t) \cos (t) + \cos (t) (- \frac{1}{\cos (t)}) - \frac{1}{\cos (t)} (\cos (t) - \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (t) \cos (t) + \cos (t) (- \frac{1}{\cos (t)}) - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\cos (t) \cos (t)$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (t) \cos (t) + \cos (t) (- \frac{1}{\cos (t)}) - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.1.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + \cos (t) (- \frac{1}{\cos (t)}) - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (t)}^{1 + 1} + \cos (t) (- \frac{1}{\cos (t)}) - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (t) + \cos (t) (- \frac{1}{\cos (t)}) - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (t) - \cos (t) \frac{1}{\cos (t)} - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $- \cos (t)$ .

$\cos^{2} (t) + \cos (t) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (t)} - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (t) + \cos (t) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (t)} - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (t) - 1 - \frac{1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 4.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\cos (t)}$ dans le numérateur.

$\cos^{2} (t) - 1 + \frac{- 1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (t) - 1 + \frac{- 1}{\cos (t)} \cos (t) - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (t) - 1 - 1 - \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$

Étape 4.1.5

Multipliez $- \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{1}{\cos (t)})$ .

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (t) - 1 - 1 + 1 \frac{1}{\cos (t)} \frac{1}{\cos (t)}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (t)}$ par $1$ .

$\cos^{2} (t) - 1 - 1 + \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $\frac{1}{\cos (t)}$ par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\cos^{2} (t) - 1 - 1 + \frac{1}{\cos (t) \cos (t)}$

Étape 4.1.5.4

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (t) - 1 - 1 + \frac{1}{\cos^{1} (t) \cos (t)}$

Étape 4.1.5.5

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (t) - 1 - 1 + \frac{1}{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}$

Étape 4.1.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (t) - 1 - 1 + \frac{1}{{\cos (t)}^{1 + 1}}$

Étape 4.1.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (t) - 1 - 1 + \frac{1}{\cos^{2} (t)}$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\cos^{2} (t) - 2 + \frac{1}{\cos^{2} (t)}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\cos^{2} (t) - 2 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)}$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2}$ .

$\cos^{2} (t) - 2 + {(\frac{1}{\cos (t)})}^{2}$

Étape 5.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (t)}$ à $\sec (t)$ .

$\cos^{2} (t) - 2 + \sec^{2} (t)$